乘法器與調(diào)制器
發(fā)布時(shí)間:2020-04-13 來源:James Bryant 責(zé)任編輯:wenwei
【導(dǎo)讀】雖然許多有關(guān)調(diào)制的描述都將其描繪成一種乘法過程,但實(shí)際情況更為復(fù)雜。首先,為清晰起見,若信號(hào)Acos)和未調(diào)制載波cos(ωt)施加于理想乘法器的兩路輸入,則我們將得到一個(gè)調(diào)制器。這是因?yàn)閮蓚€(gè)周期波形Ascos(ωst) 和 Accos(ωct)施加于乘法器(為便于分析,假定比例因子為1 V)輸入端,產(chǎn)生的輸出為:
若載波Accos(ωct)幅度為1 V (Ac = 1),則該式進(jìn)一步簡化為:
但在大多數(shù)情況下,調(diào)制器是執(zhí)行此功能更好的電路。調(diào)制器(用來改變頻率的時(shí)候也稱為混頻器)與乘法器密切相關(guān)。乘法器的輸出是其輸入的瞬時(shí)積。調(diào)制器的輸出是該調(diào)制器其中一路輸入的信號(hào)(稱為信號(hào)輸入)和另一路輸入的信號(hào)符號(hào)(稱為載波輸入)的瞬時(shí)積。圖1所示為調(diào)制函數(shù)的兩種建模方法:作為放大器使用,通過載波輸入上的比較器輸出切換正增益和負(fù)增益;或者作為乘法器使用,并在其載波輸入和其中一個(gè)端口之間放置一個(gè)高增益限幅放大器。兩種架構(gòu)都可用來形成調(diào)制器,但開關(guān)放大器架構(gòu)(用于AD630平衡調(diào)制器中)運(yùn)行較慢。大多數(shù)高速IC調(diào)制器含有一個(gè)跨導(dǎo)線性乘法器(基于吉爾伯特單元),并在載波路徑上有一個(gè)限幅放大器,用來過驅(qū)其中一路輸入。該限幅放大器可能具有高增益,允許低電平載波輸入——或者具有低增益和干凈的限幅特性,從而要求相對較大的載波輸入以正常工作。詳細(xì)信息請參考數(shù)據(jù)手冊。
圖1. 調(diào)制函數(shù)的兩種建模方法
出于某些原因,我們使用調(diào)制器而非乘法器。乘法器的兩個(gè)端口均為線性,因此載波輸入的任何噪聲或調(diào)制信號(hào)都會(huì)與信號(hào)輸入相乘,降低輸出;同時(shí),大多數(shù)情況下可忽略調(diào)制器載波輸入的幅度變動(dòng)。二階特性會(huì)導(dǎo)致載波輸入的幅度噪聲影響輸出,但最好的調(diào)制器都會(huì)盡可能減少這種影響,因此不納入本文的討論范圍。簡單的調(diào)制器模型使用由載波驅(qū)動(dòng)的開關(guān)。(理想)開路開關(guān)具有無限大的電阻和零熱噪聲電流,且(理想)閉路開關(guān)具有零電阻和零熱噪聲電壓;因此,雖然調(diào)制器的開關(guān)并非理想,但相比乘法器而言,調(diào)制器依然具有較低的內(nèi)部噪聲。另外,比起乘法器,設(shè)計(jì)與制造類似的高性能、高頻率調(diào)制器也更為簡便。
與模擬乘法器相同,調(diào)制器將兩路信號(hào)相乘;但與模擬乘法器不同的是,調(diào)制器的乘法運(yùn)算是非線性的。當(dāng)載波輸入的極性為正時(shí),信號(hào)輸入乘以+1;而當(dāng)極性為負(fù)時(shí),則乘以–1。換言之,信號(hào)乘以載波頻率下的方波。
頻率為ωct 的方波可使用傅里葉序列的奇次諧波表示:
對該序列求和:[+1, –1/3, +1/5, –1/7 + ...] 為 π/4。因此,K數(shù)值為4/π,這樣當(dāng)正直流信號(hào)施加到載波輸入時(shí),平衡調(diào)制器可作為單位增益放大器使用。
載波幅度并不重要,只要它足夠大,可驅(qū)動(dòng)限幅放大器即可;因此,由信號(hào)Ascos(ωst)和載波 cos(ωct)驅(qū)動(dòng)的調(diào)制器產(chǎn)生的輸出即為信號(hào)與載波平方的乘積:
該輸出包含下列項(xiàng)的頻率之和與頻率之差:信號(hào)與載波、信號(hào)與載波的所有奇次諧波。理想的完美平衡調(diào)制器中不存在偶次諧波乘積。然而在真實(shí)調(diào)制器中,載波端口的殘余失調(diào)會(huì)導(dǎo)致低電平偶次諧波乘積。在許多應(yīng)用中,低通濾波器(LPF)可濾除高次諧波乘積項(xiàng)。請記住,cos(A) = cos(–A), 因此 cos(ωm – Nωc)t = cos(Nωc – ωm)t,并且無需擔(dān)心“負(fù)”頻率。濾波處理后,調(diào)制器輸出可計(jì)算如下:
它和乘法器輸出的表達(dá)式一致,只是增益稍有不同。在實(shí)際系統(tǒng)中,增益采用放大器或衰減器進(jìn)行歸一化,因此此處無需考慮不同系統(tǒng)的理論增益。
在簡單的應(yīng)用中,顯然使用調(diào)制器優(yōu)于使用乘法器,但如何定義“簡單”?調(diào)制器用作混頻器時(shí),信號(hào)和載波輸入分別為頻率等于f1 和 fc的簡單正弦波,未經(jīng)濾波處理的輸出包含頻率和 (f1 + fc) 與頻率差 (f1 – fc) ,以及信號(hào)與載波奇次諧波的頻率和與頻率差 (f1 + 3fc), (f1 – 3fc), (f1 + 5fc), (f1 – 5fc), (f1 + 7fc), (f1 – 7fc)。經(jīng)LPF濾波之后,預(yù)計(jì)僅得到基波項(xiàng) (f1 +fc) 和 (f1 –fc)。
然而,若 (f1 + fc) > (f1 – 3fc),將無法使用簡單的LPF區(qū)分基波與諧波項(xiàng),因?yàn)槟硞€(gè)諧波項(xiàng)的頻率低于某個(gè)基波項(xiàng)。這并非屬于簡單的情況,因此需進(jìn)一步分析。
如果假設(shè)信號(hào)包含單一頻率f1,或假設(shè)信號(hào)更復(fù)雜,分布在頻段f1至 f2中,則我們便可分析調(diào)制器的輸出頻譜,如下圖所示。假設(shè)完美平衡的調(diào)制器不存在信號(hào)泄漏、載波泄漏或失真,則輸出不含輸入項(xiàng)、載波項(xiàng)和雜散項(xiàng)。輸入以黑色表示(或在輸出圖中以淺灰色表示,哪怕實(shí)際上并不存在)。
圖2顯示輸入—位于 f1 至 f2 頻段內(nèi)的信號(hào),以及頻率為 fc的載波。乘法器不含下列奇次載波諧波:1/3(3fc), 1/5(5fc), 1/7(7fc)…,以虛線表示。請注意,小數(shù)1/3、1/5和1/7表示幅度,而非頻率。
圖2. 輸入頻譜,顯示信號(hào)輸入、載波和奇次載波諧波
圖3顯示乘法器或調(diào)制器的輸出,以及截止頻率為2fc的LPF。
圖3. 使用LPF的乘法器或調(diào)制器輸出頻譜
圖4顯示未經(jīng)濾波處理的調(diào)制器輸出(但不含7fc以上的諧波項(xiàng))。
圖4. 未經(jīng)濾波處理的調(diào)制器輸出頻譜
若信號(hào)頻帶f1 至 f2位于奈奎斯特頻帶(直流至 fc/2)內(nèi),則截止頻率高于2fc的LPF將使調(diào)制器具有與乘法器相同的輸出頻譜。若信號(hào)頻率高于奈奎斯特頻率,則情況更復(fù)雜。
圖5顯示信號(hào)頻帶正好低于fc時(shí)將發(fā)生的情況。依然有可能分離諧波項(xiàng)和基波項(xiàng),但此時(shí)需使用具有陡峭滾降特性的LPF。
圖5. 信號(hào)大于fc/2時(shí)的輸出頻譜
圖6顯示由于fc位于信號(hào)通帶內(nèi),諧波項(xiàng)疊加 (3fc – f1) < (fc + f1),因此,基波項(xiàng)不再能夠通過LPF與諧波項(xiàng)分離。所需信號(hào)此時(shí)必須通過帶通濾波器(BPF)進(jìn)行選擇。
所以,雖然調(diào)制器在大部分變頻應(yīng)用中優(yōu)于線性乘法器,但設(shè)計(jì)實(shí)際系統(tǒng)時(shí)必須考慮到它們的諧波項(xiàng)。
圖6. 信號(hào)超過fc時(shí)的輸出頻譜
參考電路
Analog Dialogue
Brandon, David. “Multichannel DDS Enables Phase-Coherent FSK Modulation.” Analog Dialogue, Volume 44, Number 4, 2010.
Gilbert, Barrie. “Considering Multipliers (Part 1).” Analog Dialogue, Volume 42, Number 4, 2008.
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