從數(shù)學(xué)原理上來說，通用型有源濾波器可以用如下的系統(tǒng)框圖來表示。
圖1：典型的二階系統(tǒng)的信號流圖
上面是一個(gè)典型的二階系統(tǒng)的信號流圖，利用Mason 公式可以很容易的得到系統(tǒng)各個(gè)通路的傳遞函數(shù)：
上面三個(gè)式子分別對應(yīng)高通、帶通和低通濾波器，如果將u、v、w三路信號加權(quán)疊加則可以組成任意的二階系統(tǒng)。
二階系統(tǒng)傳遞函數(shù)的分母多項(xiàng)式的標(biāo)準(zhǔn)形式為：
經(jīng)比較可知，大環(huán)路增益b決定二階系統(tǒng)的固有頻率，小環(huán)路的增益a決定系統(tǒng)的阻尼系數(shù)，也就是決定系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)Q。
狀態(tài)變量濾波器
狀態(tài)變量濾波器也被稱為KHN 濾波器，屬于通用型有源濾波器的一種實(shí)現(xiàn)形式，由Kerwin、Huelsman’Newcomb與1967年提出的。電路的基本形式如下。
圖2：反向輸入型KHN 濾波器
轉(zhuǎn)換為信號流圖后如下圖所示。
其中：
列寫系統(tǒng)各個(gè)通路的傳遞函數(shù)如下：
將（3）帶入（4）后經(jīng)整理可得：
如果對電阻電容的值做一些限制，公式會(huì)變得更簡單。設(shè)：
可以看出品質(zhì)因數(shù)Q只依賴于R1與R2的比值。而固有頻率只與RC的乘積有關(guān)。
正向輸入型的KHN濾波器如下圖所示：
圖3：正向輸入型的KHN濾波器
對應(yīng)的信號流圖如下：
從信號流圖上看，僅僅是x(s) 到 u(s) 之間的增益從 -A1 變?yōu)?A1，其他的地方完全相同。但是由于R3從運(yùn)放的負(fù)輸入端移動(dòng)到了正輸入端，所以A1和A3的值發(fā)生了很大的變化。
列寫系統(tǒng)各個(gè)通路的傳遞函數(shù)如下：
由于A2、A4和A5都沒有變化，所以系統(tǒng)的固有頻率沒有變：
如果還是做一些限制：
則可以簡化為：
正向輸入型和反向輸入型最大的區(qū)別在于通頻帶的增益。下面給出低通濾波器時(shí)的幅頻特性曲線。兩邊的曲線一對比他們的區(qū)別就一目了然了。
Tow-Thomas 型二階濾波器
另一種類似的電路形式稱之為 Tow-Thomas 型濾波器。它的基本電路形式如下，其中R3=R6構(gòu)成一個(gè)反向器。
圖5：Tow-Thomas 型濾波器
信號流圖與正向輸入型KHN濾波器完全相同。需要說明的是u(s)是電流信號，表示的是流過C1的電流的大小。
但是A1到A5的表達(dá)式卻變得簡單的多。
列寫系統(tǒng)各個(gè)通路的傳遞函數(shù)也與正向輸入型KHN濾波器完全相同，這里重復(fù)如下：
由于u(s)是電流信號，無法直接引出使用，因此也就沒有列出來。將（16）帶入（17）后可得：
品質(zhì)因數(shù)和固有頻率計(jì)算如下：
則可以化簡為：
原始信號減去帶通信號就稱為帶阻信號了，因此再增加一個(gè)運(yùn)放就可以實(shí)現(xiàn)帶阻型濾波器。
圖6：Tow-Thomas 帶阻型濾波器
這個(gè)電路的要點(diǎn)是R1=R2，這樣才能保證原始信號與帶通信號的幅度相同。也就是說要求A1=A3。
簡單的說，這種辦法生成的帶阻濾波器其實(shí)就是在虛軸上對應(yīng)位置添加了零點(diǎn)。
圖7：Tow-Thomas 帶阻型濾波器的零、極點(diǎn)分布
帶阻信號如果再與低通信號相加，就能夠組成低通帶阻型或高通帶阻型。下面是電路原理圖。
圖8：Tow-Thomas (高通/低通)帶阻型濾波器
單刀雙擲開關(guān)打到3的位置時(shí)對應(yīng)低通帶阻濾波器，打到2的位置時(shí)對應(yīng)高通帶阻濾波器。原理可以這樣分析。首先，傳遞函數(shù)可以寫為如下形式：
單刀雙擲開關(guān)打到3的位置時(shí)α的值為正，打到2的位置時(shí)α的值為負(fù)。α 值的變化對應(yīng)的是系統(tǒng)零點(diǎn)的移動(dòng)。α大于0 相當(dāng)于零點(diǎn)互相遠(yuǎn)離。
圖9：Tow-Thomas (高通/低通)帶阻型濾波器的零、極點(diǎn)分布
(高通/低通)帶阻型濾波器的典型頻響如下面兩幅圖所示。
圖10：低通帶阻型濾波器的幅頻響應(yīng)
圖11：高通帶阻型濾波器的幅頻響應(yīng)
