運(yùn)算放大器的噪聲模型與頻譜密度曲線
除了寬帶噪聲之外,運(yùn)算放大器常還有低頻噪聲區(qū),該區(qū)的頻譜密度圖并不平坦。這種噪聲稱作 1/f 噪聲,或閃爍噪聲,或低頻噪聲。通常說(shuō)來(lái),1/f 噪聲的功率譜以 1/f 的速率下降。這就是說(shuō),電壓譜會(huì)以 1/f(1/2 ) 的速率下降。不過(guò)實(shí)際上,1/f 函數(shù)的指數(shù)會(huì)略有偏差。圖 2.1 顯示了典型運(yùn)算放大器在 1/f 區(qū)及寬帶區(qū)的頻譜情況。請(qǐng)注意,頻譜密度圖還顯示了電流噪聲情況(單位為 fA/rt-Hz)。
我們還應(yīng)注意到另一點(diǎn)重要的情況,即 1/f 噪聲還能用正態(tài)分布曲線表示,因此 部分中介紹的數(shù)學(xué)原理仍然適用。圖 2.2 顯示了1/f 噪聲的時(shí)域情況。請(qǐng)注意,本圖的 X 軸單位為秒,隨時(shí)間發(fā)生較慢變化是1/f 噪聲的典型特征。
圖 2.2:時(shí)域所對(duì)應(yīng)的 1/f 噪聲及統(tǒng)計(jì)學(xué)分析結(jié)果
圖 2.3 描述了運(yùn)算放大器噪聲的標(biāo)準(zhǔn)模型,其包括兩個(gè)不相關(guān)的電流噪聲源與一個(gè)電壓噪聲源,連接于運(yùn)算放大器的輸入端。我們可將電壓噪聲源視為隨時(shí)間變化的輸入偏移電壓分量,而電流噪聲源則可視為隨時(shí)間變化的偏置電流分量。
圖 2.3:運(yùn)算放大器的噪聲模型
運(yùn)算放大器噪聲分析方法
運(yùn)算放大器噪聲分析方法是根據(jù)運(yùn)放數(shù)據(jù)表上的數(shù)據(jù)計(jì)算出運(yùn)放電路峰峰值輸出噪聲。在介紹有關(guān)方法的時(shí)候,我們所用的算式適用于 簡(jiǎn)單的運(yùn)算放大器電路。就更復(fù)雜的電路而言,這些算式也有助于我們大致了解可預(yù)見(jiàn)的噪聲輸出情況。我們也可針對(duì)這些更復(fù)雜的電路提供較準(zhǔn)確的計(jì)算公式,但其中涉及的數(shù)學(xué)計(jì)算將更為復(fù)雜。對(duì)更復(fù)雜的電路而言,或許我們 應(yīng)采用三步走的辦法。首先,用算式進(jìn)行粗略的估算;然后,采用 spice 仿真程序進(jìn)行更準(zhǔn)確的估算; 通過(guò)測(cè)量來(lái)確認(rèn)結(jié)果。
我們將以 TI OPA277 的簡(jiǎn)單非反向放大器為例來(lái)說(shuō)明有關(guān)電路的情況(見(jiàn)圖 2.4)。我們的目標(biāo)是測(cè)定峰峰值輸出噪聲。為了實(shí)現(xiàn)這一目的,我們應(yīng)考慮運(yùn)算放大器的電流噪聲、電壓噪聲以及電阻熱噪聲。我們將根據(jù)產(chǎn)品說(shuō)明書(shū)中的頻譜密度曲線來(lái)確定上述噪聲源的大小。此外,我們還要考慮電路增益與帶寬問(wèn)題。
圖 2.4:噪聲分析電路示例
首先,我們應(yīng)了解如何將噪聲頻譜密度曲線轉(zhuǎn)換為噪聲源。為了實(shí)現(xiàn)這一目的,我們需進(jìn)行微積分運(yùn)算。簡(jiǎn)單提醒一句,積分函數(shù)確定曲線下方的面積。圖 2.5 顯示,我們只須將長(zhǎng)寬相乘(即矩形區(qū)域面積),便能獲得常數(shù)函數(shù)的積分。這種轉(zhuǎn)換頻譜密度曲線為噪聲源的關(guān)系比較簡(jiǎn)單。
圖 2.5:通過(guò)積分計(jì)算曲線下方面積
人們通常會(huì)說(shuō),只有將電壓頻譜密度曲線進(jìn)行積分計(jì)算,才能得到總噪聲值。事實(shí)上,我們必須對(duì)功率譜密度曲線進(jìn)行積分計(jì)算。該曲線實(shí)際反映的是電壓或電流頻譜密度的平方(請(qǐng)記?。篜 = V2/R 且 P=I2R)。圖 2.6 顯示了對(duì)電壓頻譜密度曲線進(jìn)行積分計(jì)算所得的奇怪結(jié)果。圖 2.7 顯示,您可將功率譜密度進(jìn)行積分計(jì)算,再通過(guò)求結(jié)果的平方根將其轉(zhuǎn)換回電壓。請(qǐng)注意,我們由此可獲得合理結(jié)果。
圖 2.6:計(jì)算噪聲的不正確方法
圖 2.7:計(jì)算噪聲的正確方法
通過(guò)對(duì)電壓與電流頻譜的功率譜密度曲線進(jìn)行積分計(jì)算,我們可得到運(yùn)算放大器模型信號(hào)源的 RMS 幅度(圖 2.3)。不過(guò),頻譜密度曲線將分布在 1/f 區(qū)與帶低通
濾波器的寬帶區(qū)(見(jiàn)圖 2.8)。如計(jì)算上述兩個(gè)區(qū)域的總噪聲,我們要采用微積分計(jì)算推導(dǎo)出的算式。再根據(jù) 部分所討論的處理非相關(guān)信號(hào)源的方法,對(duì)上述兩個(gè)計(jì)算的結(jié)果做和的平方根 (RSS) 運(yùn)算,對(duì)應(yīng) 部分中提到的非相關(guān)信號(hào)源。
首先,我們要對(duì)帶低通濾波器的寬帶區(qū)域進(jìn)行積分計(jì)算。理想情況下,曲線的低通濾波器部分是一條縱向直線,我們稱之為磚墻式濾波器 (brick wall filter)。由于磚墻式濾波器情況下的曲線下方區(qū)域?yàn)榫匦?,因此這一區(qū)域的問(wèn)題比較好解決,長(zhǎng)乘寬即可。在實(shí)際情況下,我們不能實(shí)現(xiàn)磚墻式濾波器。不過(guò),我們可用一組常量來(lái)將實(shí)際情況下的濾波器帶寬轉(zhuǎn)換為等效的磚墻式濾波器帶寬,以滿足噪聲計(jì)算的需要。圖 2.9 將理論磚墻式濾波器與一階、二階及三階濾波器進(jìn)行了對(duì)比。
圖 2.8:帶濾波器的寬帶區(qū)
圖 2.9:磚墻式濾波器與實(shí)際濾波器相比較
我們可用方程式 2.2 用于轉(zhuǎn)換實(shí)際濾波器或做磚墻式濾波器等效。表 2.1 列出了各階濾波器的換算系數(shù) (Kn)。舉例來(lái)說(shuō),一階濾波器帶寬乘以 1.57 即為磚墻式濾波器帶寬。調(diào)節(jié)后的帶寬有時(shí)也稱作噪聲帶寬。請(qǐng)注意,換算系數(shù)隨著濾波器階數(shù)的提升將越來(lái)越接近于1。換言之,濾波器階數(shù)越高,就越接近于磚墻式濾波器。
既然我們有了將實(shí)際濾波器轉(zhuǎn)換為磚墻式濾波器的算式,那么我們就能很方便地進(jìn)行功率頻譜的積分運(yùn)算了。請(qǐng)記住,功率的積分運(yùn)算為電壓頻譜的平方。我們需將積分結(jié)果進(jìn)行平方根運(yùn)算轉(zhuǎn)換回電壓。方程式 2.3 即由此得出(見(jiàn)附錄 2.1)。因此,根據(jù)產(chǎn)品說(shuō)明書(shū)中的數(shù)據(jù)套用方程式 2.2 、方程式 2.3便可計(jì)算出寬帶噪聲。
方程式 2.3:寬帶噪聲方程式
我們需記住,我們的目標(biāo)是測(cè)定圖 2.3 中噪聲源 Vn 的幅度。該噪聲源包括寬帶噪聲與 1/f 噪聲。我們用方程式 2.2 與 2.3 可計(jì)算出寬帶噪聲?,F(xiàn)在我們應(yīng)計(jì)算 1/f 噪聲,這就需求對(duì)噪聲頻率密度圖 1/f 區(qū)域的功率頻譜進(jìn)行積分計(jì)算(如圖 2.10所示)。我們可用方程式 2.4 和 2.5 獲得有關(guān)積分結(jié)果。方程式 2.4 將 1/f 區(qū)的噪聲測(cè)量結(jié)果歸一化為 1Hz 時(shí)的噪聲。某些情況下,我們可從圖中直接讀出該數(shù)值,有時(shí)用方程式更方便求得(見(jiàn)圖 2.11)。方程式2.5用歸一化噪聲、上部噪聲帶寬與下部噪聲帶寬來(lái)計(jì)算 1/f 噪聲。附錄 2.2 給出了整個(gè)演算過(guò)程。
在考慮 1/f 噪聲時(shí),我們必須選擇低頻截止點(diǎn)。這是因?yàn)?1/f 函數(shù)分母為零時(shí)無(wú)意義(即 1/0 無(wú)意義)。事實(shí)上,理論上 0 赫茲時(shí)噪聲趨近于無(wú)窮。但我們應(yīng)當(dāng)考慮到,頻率極低時(shí),其相應(yīng)的時(shí)間也非常長(zhǎng)。舉例來(lái)說(shuō),0.1Hz 對(duì)應(yīng)于 10 秒,而 0.001Hz則對(duì)應(yīng)于 1000 秒。對(duì)極低的頻率而言,對(duì)應(yīng)的時(shí)間有可能為數(shù)年(如 10nHz 對(duì)應(yīng)于 3 年)。頻率間隔越大,積分計(jì)算所得的噪聲就越大。不過(guò)我們也要記住,極低頻噪聲檢測(cè)需要很長(zhǎng)時(shí)間。我們?cè)谝院蟮奈恼轮袑⒏敿?xì)地探討此問(wèn)題。目前,我們暫且記住這一點(diǎn),1/f 計(jì)算時(shí)通常用 0.1Hz 作為低頻截止點(diǎn)。
既然我們已得到了寬帶與 1/f 噪聲的幅度,現(xiàn)在就用 部分給出的無(wú)相關(guān)噪聲源算式來(lái)疊加噪聲源 (見(jiàn)如下方程式 2.6 與本系列文章的 部分中的方程式 1.8)。
工程師考慮分析方法時(shí)通常會(huì)擔(dān)心,1/f 噪聲與寬帶噪聲是否應(yīng)在兩個(gè)不同的區(qū)域進(jìn)行積分計(jì)算。換言之,他們認(rèn)為,由于 1/f 噪聲與寬帶噪聲相加后會(huì)超出 1/f 區(qū)域,從而出現(xiàn)錯(cuò)誤。實(shí)際上,1/f 區(qū)域與寬帶區(qū)域一樣,都涵蓋所有頻率。我們必須記住,當(dāng)噪聲頻譜顯示在對(duì)數(shù)圖上,1/f 區(qū)在降至寬帶曲線以下后影響極小。兩條曲線結(jié)合明顯的 區(qū)域就在 1/f 半功率頻點(diǎn)處。在此區(qū)域中,我們看到兩區(qū)域結(jié)合部的情況與數(shù)學(xué)模型相同。圖 2.12 顯示了兩區(qū)實(shí)際重疊的情況,并給出了相應(yīng)的幅度。
現(xiàn)在,我們已得到了將噪聲頻譜密度曲線轉(zhuǎn)換為噪聲源所需的全部方程式。請(qǐng)注意,現(xiàn)在我們已推算出了電壓噪聲所需的方程式,不過(guò)相同的方法也可運(yùn)用于電流噪聲的計(jì)算。在本系列隨后的文章中,我們將討論用有關(guān)方程式來(lái)解決運(yùn)算放大器電流的噪聲分析問(wèn)題。